最近入职了一家待遇很一般的公司。没办法,空窗期有点长了,找份工作糊口一下,等稳妥些再打算了。
HR询问我有没有电脑,我说没有。然后她跟我说,如果使用自己的电脑一个月可以补贴150块,一听这个数字就觉得是有故事的,还能咋地,自然是补贴太少了。而她觉得如果干个4-5年电脑的成本都回收回来了,当然如果你想在这种待遇的公司长期呆着也不失一种稳妥的方式。
不妨对上述问题进行建模,假设$x$代表购买全新电脑的开销,而$t$表示持有的月份数量,而$y$是补贴的金额。由于电脑是电子产品,遵循摩尔定律,每隔18个月成本就会降低一半,而售价也跟着成本同步下调。而实际情况会更为复杂,回收价受到各种因素的影响,比如划痕、折旧等。
对这个简化的模型进行建模,于是我们有如下的公式:
$$ x\times(\frac{1}{2})^{\cfrac{t}{18}}=y\times t $$
现在要对上述方程进行求解,找到其最小的月份从而达到折旧与补贴平衡。这是一个超越方程,无法用初等代数显式求解。我们需要借助数值方法或特殊函数(如朗伯W函数)来求解。
对于解析解,因为
$$ \frac{1}{2}=e^{\text{ln}2} $$
所以
$$ (\frac{1}{2})^{\cfrac{t}{18}}=e^{-\cfrac{\text{ln}2}{18}t} $$
将其代入原式再两边同时除以y再移项可得
$$ \frac{x}{y}\times e^{-\cfrac{\text{ln}2}{18}t}=t\ t\times e^{\cfrac{\text{ln}2}{18}t}=\frac{x}{y} $$
实际情况更推荐使用数值方法,比如使用牛顿法。我们可以定义函数:
$$ f(t)=x\times(\frac{1}{2})^{\cfrac{t}{18}}-y\times t $$
对其求导
$$ f^{\prime}(t)=x\times(\frac{1}{2})^{\cfrac{t}{18}}\times(-\frac{\text{ln}2}{18})-y $$
根据牛顿迭代公式
$$ t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f^{\prime}(t_{n})} $$
选择一个合理的初始值$t_{0}$,然后迭代直到收敛。
而对应的Python示例代码如下:
import math
def solve_equation(x, y, tol=1e-10, max_iter=100):
def f(t):
return x * (0.5 ** (t / 18)) - y * t
def df(t):
return x * (0.5 ** (t / 18)) * (-math.log(2) / 18) - y
t = 1.0 # 初始猜测
for _ in range(max_iter):
ft = f(t)
if abs(ft) < tol:
break
dft = df(t)
if abs(dft) < 1e-15:
print("导数太小，收敛失败")
return None
t_new = t - ft / dft
if abs(t_new - t) < tol:
t = t_new
break
t = t_new
return t
# 示例：x=6000, y=150
x, y = 6000, 150
t_solution = solve_equation(x, y)
print(f"解 t ≈ {t_solution:.6f}") #19.140579
当然我们也可以使用scipy库来简化计算:
from scipy.optimize import root
import numpy as np
def equation(t, x, y):
return x * (0.5 ** (t / 18)) - y * t
sol = root(equation, x0=10, args=(6000, 150))
print("解 t =", sol.x[0]) # 19.14
在这里,假设要购买的电脑售价为6000元,而公司补贴为150元,那么将在20个月后才能达到平衡,换句话说,你为此需要在这个公司待接近2年。
看到这里,对于这种情况你或许就理解我为何要求公司提供电脑了。
